Este artigo aborda a implementação passo a passo da regressão linear com Gradient Descent, proporcionando uma compreensão detalhada sobre o cálculo dos coeficientes de uma reta de regressão que melhor se ajusta a uma nuvem de pontos, minimizando o erro quadrático médio.

Regressão Linear com Gradient Descent

Este artigo aborda a implementação de uma regressão linear simples utilizando o algoritmo de Gradient Descent, com foco em mostrar na prática como calcular os coeficientes de uma reta de regressão que melhor se ajusta a uma nuvem de pontos, minimizando o erro quadrático médio.

  • Implementação de regressão linear com Gradient Descent
  • Cálculo dos coeficientes de uma reta de regressão
  • Minimização do erro quadrático médio

Regressão Linear

A regressão linear é um modelo de aprendizado supervisionado que busca encontrar uma relação linear entre uma variável dependente Y e uma ou mais variáveis independentes X. O objetivo é ajustar uma reta que minimize a diferença entre os valores previstos e os valores reais de Y.

  • Modelo de aprendizado supervisionado
  • Relação linear entre variáveis dependentes e independentes
  • Mínima diferença entre valores previstos e reais

Equação da Reta

A equação da reta é dada por Y = mX + b, onde Y representa a variável dependente, X a variável independente, m o coeficiente angular e b o intercepto. O desafio está em encontrar os valores de m e b que resultam na reta com o menor erro possível.

  • Representação da equação da reta
  • Variáveis presentes na equação
  • Desafio de encontrar valores de m e b com menor erro

Gradient Descent

O Gradient Descent é um algoritmo iterativo utilizado para otimizar funções encontrando os valores mínimos ou máximos. No caso da regressão linear, a função de custo normalmente utilizada é o Erro Quadrático Médio (Mean Squared Error – MSE).

  • Algoritmo iterativo de otimização
  • Busca por valores mínimos ou máximos
  • Função de custo no caso da regressão linear

Entendendo o Processo de Otimização

O processo de otimização de um modelo de regressão linear envolve a minimização da função de custo, que é calculada com base na diferença entre os valores previstos e os valores reais. Para isso, são utilizados os coeficientes m e b, que representam a inclinação e o intercepto da reta de regressão. A otimização é realizada por meio do algoritmo de Gradient Descent, que consiste em iterativamente atualizar os valores de m e b na direção oposta ao gradiente da função de custo.

  • A otimização de um modelo de regressão linear busca minimizar a função de custo, que mede a diferença entre os valores previstos e os valores reais.
  • Os coeficientes m e b representam a inclinação e o intercepto da reta de regressão, e são atualizados de forma iterativa durante o processo de otimização.
  • O algoritmo de Gradient Descent é utilizado para minimizar a função de custo, atualizando os coeficientes na direção oposta ao gradiente.

Cálculo do Gradiente e Atualização dos Coeficientes

Para calcular o gradiente da função de custo MSE em relação aos coeficientes m e b, são utilizadas as derivadas parciais. Essas derivadas parciais formam um vetor (gradiente) que aponta para a direção de maior crescimento do MSE. Para minimizar o MSE, os coeficientes são atualizados na direção oposta ao gradiente, com a magnitude do passo controlada pela taxa de aprendizado.

  • O gradiente da função de custo MSE em relação aos coeficientes m e b é calculado por meio das derivadas parciais, que indicam a direção de maior crescimento do MSE.
  • A atualização dos coeficientes m e b é realizada na direção oposta ao gradiente, com a magnitude do passo controlada pela taxa de aprendizado.

Iterações do Gradient Descent

O algoritmo de Gradient Descent requer múltiplas iterações para convergir ao mínimo da função de custo. Em cada iteração, são realizados os passos de cálculo da predição Y, comparação com os valores reais, cálculo do MSE, derivadas parciais e atualização dos coeficientes. O número de iterações necessárias para convergir ao mínimo pode variar de acordo com os valores iniciais dos coeficientes, a taxa de aprendizado e a complexidade do modelo.

  • O algoritmo de Gradient Descent requer múltiplas iterações para convergir ao mínimo da função de custo.
  • Cada iteração envolve o cálculo da predição Y, comparação com os valores reais, cálculo do MSE, derivadas parciais e atualização dos coeficientes.
  • O número de iterações necessárias para convergir ao mínimo pode variar de acordo com os valores iniciais dos coeficientes, a taxa de aprendizado e a complexidade do modelo.

Erro Quadrático Médio

O erro quadrático médio (MSE) é a métrica mais utilizada para medir o desempenho de modelos de regressão. Ele basicamente calcula a diferença quadrada entre os valores previstos e os valores reais, penalizando mais os erros grandes, e depois tira a média. Quanto menor o MSE, melhor o ajuste da reta de regressão aos dados. À medida que o Gradient Descent converge, o MSE tende a um valor mínimo.

  • MSE é a métrica mais utilizada para medir o desempenho de modelos de regressão
  • Calcula a diferença quadrada entre os valores previstos e os valores reais
  • Penaliza mais os erros grandes
  • Quanto menor o MSE, melhor o ajuste da reta de regressão aos dados
  • À medida que o Gradient Descent converge, o MSE tende a um valor mínimo

Otimização

Alguns fatores que podem ser ajustados para melhorar o desempenho do Gradient Descent: Número de iterações, Taxa de aprendizado, Inicialização de pesos e Tamanho do batch. Não existe uma receita pronta. É um processo iterativo de tentativa e erro para encontrar a melhor configuração.

  • Número de iterações influencia na convergência ao mínimo global
  • Taxa de aprendizado: valores muito grandes causam divergência, valores muito pequenos tornam o treinamento lento
  • Inicialização de pesos influencia na convergência ao mínimo global
  • Tamanho do batch: usar todo dataset ou apenas parte em cada iteração

Conclusão

Ao compreender e aplicar os conceitos de derivadas parciais, atualização iterativa dos pesos, erro quadrático médio e otimização de hiperparâmetros, você estará preparado para implementar regressão linear em problemas de predição com Python, ampliando seu conhecimento em machine learning.